سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

$$f'(x) = x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \ \ \text{یا} \ \ x = -1$$

گام ۱: مشتق و ریشه‌های آن.

$$f'(x) = \frac{1}{3}(3x^2) - 2x - 3 = x^2 - 2x - 3$$ $$x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3 \ \ \text{یا} \ \ x = -1$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ یک عبارت درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ مثبت است؛ پس بیرونِ دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی است. (برای نمونه $f'(0) = -3$ منفی است.)

گام ۳: مقدار تابع در نقطه‌های بحرانی.

$$f(-1) = \frac{1}{3}(-1) - 1 + 3 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + 2 + \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$$ $$f(3) = \frac{1}{3}(27) - 9 - 9 + \frac{2}{3} = 9 - 18 + \frac{2}{3} = -\frac{25}{3}$$

گام ۴: جدول تغییرات. هر جا $f'$ مثبت است تابع صعودی و هر جا منفی است تابع نزولی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: در $x = -1$ علامت $f'$ از مثبت به منفی عوض می‌شود، پس تابع در این نقطه ماکزیمم نسبی برابر $\frac{7}{3}$ دارد. در $x = 3$ علامت $f'$ از منفی به مثبت عوض می‌شود، پس تابع در این نقطه مینیمم نسبی برابر $-\frac{25}{3}$ دارد. یعنی نقطه‌های اکسترمم نسبی $\left(-1, \frac{7}{3}\right)$ و $\left(3, -\frac{25}{3}\right)$ هستند.