سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

$$P(A) = P(B_1)\,P(A \mid B_1) + P(B_2)\,P(A \mid B_2)$$ $$P(A) = \frac{6}{10} \times \frac{6}{13} + \frac{4}{10} \times \frac{5}{13} = \frac{56}{130}$$

حل به روش نمودار درختی هم نمرهٔ کامل دارد.

نتیجهٔ مرحلهٔ دوم به این بستگی دارد که در مرحلهٔ اول چه مهره‌ای به ظرف دوم رفته است؛ پس از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم. پیشامدها را نام‌گذاری می‌کنیم:

• $B_1$: مهرهٔ برداشته‌شده از ظرف اول سبز باشد.
• $B_2$: مهرهٔ برداشته‌شده از ظرف اول آبی باشد.
• $A$: مهرهٔ برداشته‌شده از ظرف دوم سبز باشد.

گام ۱: احتمال‌های مرحلهٔ اول. ظرف اول ۱۰ مهره دارد:

$$P(B_1) = \frac{6}{10} \qquad P(B_2) = \frac{4}{10}$$

گام ۲: احتمال سبز بودن در مرحلهٔ دوم. بعد از اضافه شدن یک مهره، ظرف دوم ۱۳ مهره دارد.

اگر مهرهٔ سبز اضافه شده باشد، ظرف دوم ۶ سبز و ۷ آبی دارد:

$$P(A \mid B_1) = \frac{6}{13}$$

اگر مهرهٔ آبی اضافه شده باشد، ظرف دوم ۵ سبز و ۸ آبی دارد:

$$P(A \mid B_2) = \frac{5}{13}$$

گام ۳: قانون احتمال کل.

$$P(A) = P(B_1)\,P(A \mid B_1) + P(B_2)\,P(A \mid B_2) = \frac{6}{10} \times \frac{6}{13} + \frac{4}{10} \times \frac{5}{13}$$ $$P(A) = \frac{36}{130} + \frac{20}{130} = \frac{56}{130} = \frac{28}{65}$$