سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

الف)

$$a = 5 ,\ b = 4 \rightarrow c^2 = 25 - 16 \rightarrow c = 3 \rightarrow A'F = 8$$

ب)

$$S = \frac{1}{2}(5 + 3) \times 4 = 16$$

در بیضی، نصف قطر بزرگ را $a$، نصف قطر کوچک را $b$ و فاصلهٔ مرکز تا هر کانون را $c$ می‌نامیم و رابطهٔ آن‌ها این است:

$$a^2 = b^2 + c^2$$

الف) طول قطر بزرگ ۱۰ و طول قطر کوچک ۸ است:

$$2a = 10 \Rightarrow a = 5 \qquad 2b = 8 \Rightarrow b = 4$$ $$c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow c = 3$$

نقطهٔ $A'$ در یک طرف مرکز و کانون $F$ در طرف دیگر آن روی قطر بزرگ است؛ پس فاصلهٔ آن‌ها مجموع دو فاصله تا مرکز است:

$$A'F = OA' + OF = a + c = 5 + 3 = 8$$

ب) قاعدهٔ مثلث $A'BF$ را پاره‌خط $A'F$ روی قطر بزرگ می‌گیریم. چون $OB$ بر قطر بزرگ عمود است، ارتفاع وارد بر این قاعده همان $OB = b = 4$ است:

$$S = \frac{1}{2} \times A'F \times OB = \frac{1}{2} \times (5 + 3) \times 4 = 16$$

پس مساحت مثلث هاشورخورده ۱۶ واحد مربع است.