سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

تابع، رادیکالِ یک کسر است؛ پس دو قاعده لازم داریم: مشتق رادیکال و مشتق کسر.

قاعدهٔ مشتق رادیکال: اگر $u$ تابعی از $x$ باشد،

$$\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$

اینجا $u = \frac{9x - 2}{x + 1}$ است.

گام ۱: مشتق کسر $u$. با قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت (مشتق صورت ضربدر مخرج، منهای مشتق مخرج ضربدر صورت، تقسیم بر مجذور مخرج):

$$u' = \frac{9(x + 1) - 1(9x - 2)}{(x + 1)^2}$$

گام ۲: گذاشتن در قاعدهٔ رادیکال.

$$f'(x) = \frac{u'}{2\sqrt{u}} = \frac{\dfrac{9(x + 1) - 1(9x - 2)}{(x + 1)^2}}{2\sqrt{\dfrac{9x - 2}{x + 1}}}$$

ساده کردن لازم نیست، ولی اگر صورت کسر $u'$ را باز کنیم:

$$9(x + 1) - (9x - 2) = 9x + 9 - 9x + 2 = 11 \Rightarrow f'(x) = \frac{11}{2(x + 1)^2\sqrt{\dfrac{9x - 2}{x + 1}}}$$