سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

الف) گزینهٔ ۳ ($[1, 9)$)

ب) گزینهٔ ۲ ($(1, 0)$)

پ) گزینهٔ ۳ ($m_a > m_b > m_c$)

الف) گزینهٔ ۳. عبارت $3x - 1$ داخل پرانتز فقط نمودار را در راستای افقی جابه‌جا و فشرده می‌کند و برد را تغییر نمی‌دهد؛ پس $f(3x - 1)$ هم همهٔ مقدارهای بازهٔ $(-3, 1]$ را می‌گیرد:

$$-3 < f(3x - 1) \le 1$$

طرفین را در $-2$ ضرب می‌کنیم؛ چون عدد منفی است، جهت نامساوی‌ها برمی‌گردد:

$$-2 \le -2f(3x - 1) < 6$$

حالا به همهٔ طرف‌ها ۳ اضافه می‌کنیم:

$$1 \le -2f(3x - 1) + 3 < 9$$

پس برد تابع $[1, 9)$ است.

ب) گزینهٔ ۲. نقطه‌ای روی محیط دایره است که مختصاتش در معادلهٔ دایره صدق کند. نقطهٔ $(1, 0)$ را امتحان می‌کنیم:

$$1^2 + 0^2 - 2(1) + 4(0) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$$

معادله برقرار است. نقطه‌های دیگر صدق نمی‌کنند: برای $(0, 0)$ حاصل $1$، برای $(0, -1)$ حاصل $-2$ و برای $(-1, 0)$ حاصل $4$ می‌شود، نه صفر.

(راه دیگر: با مربع کامل کردن، معادله $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ می‌شود؛ یعنی مرکز $(1, -2)$ و شعاع ۲. فاصلهٔ $(1, 0)$ تا مرکز دقیقاً ۲ است.)

پ) گزینهٔ ۳. شیب خط مماس در هر نقطه نشان می‌دهد نمودار آنجا بالا می‌رود یا پایین می‌آید:

• در $a$ نمودار رو به بالا می‌رود (تابع صعودی است)، پس $m_a > 0$.
• در $b$ نمودار به بالاترین نقطه‌اش رسیده و خط مماس افقی است، پس $m_b = 0$.
• در $c$ نمودار رو به پایین می‌آید (تابع نزولی است)، پس $m_c < 0$.

در نتیجه:

$$m_a > 0 = m_b > m_c \Rightarrow m_a > m_b > m_c$$