سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

گام ۱: حاصل‌ضرب را برحسب یک متغیر بنویسیم. از رابطهٔ داده‌شده $y$ را برحسب $x$ پیدا می‌کنیم:

$$5x - y = 10 \Rightarrow y = 5x - 10$$

حاصل‌ضرب دو عدد را $p$ می‌نامیم:

$$p(x) = xy = x(5x - 10) = 5x^2 - 10x$$

گام ۲: مشتق را برابر صفر قرار دهیم.

$$p'(x) = 10x - 10 = 0 \Rightarrow x = 1$$

گام ۳: مطمئن شویم مینیمم است. برای $x < 1$ مشتق منفی (تابع نزولی) و برای $x > 1$ مشتق مثبت (تابع صعودی) است؛ پس در $x = 1$ کمترین مقدار را داریم. (نمودار $p$ هم یک سهمی رو به بالاست که پایین‌ترین نقطه‌اش رأس آن است.)

گام ۴: مقدار $y$.

$$y = 5(1) - 10 = -5$$

پس $x = 1$ و $y = -5$، و کمترین مقدار حاصل‌ضرب $1 \times (-5) = -5$ است.