سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

تابع $f$ در نقطهٔ $x = 0$ پیوسته است.

$$\left.\begin{aligned} f'_+(0) &= 3 \\ f'_-(0) &= a \end{aligned}\right\} \Rightarrow a = 3$$

تابعی در یک نقطه مشتق‌پذیر است که در آن نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راستش برابر باشند.

گام ۱: پیوستگی در صفر.

$$f(0) = 0^2 + 3(0) + 1 = 1 \qquad \lim_{x \to 0^-} (ax + 1) = 1 \qquad \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 3x + 1) = 1$$

هر سه برابر ۱ هستند؛ پس تابع به ازای هر مقدار $a$ در صفر پیوسته است و شرط پیوستگی چیزی دربارهٔ $a$ نمی‌گوید.

گام ۲: مشتق راست. برای $x \ge 0$ ضابطه $x^2 + 3x + 1$ است:

$$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 + 3h + 1 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} (h + 3) = 3$$

(همین را از مشتق ضابطه هم می‌شود دید: $2x + 3$ در $x = 0$ برابر ۳ است.)

گام ۳: مشتق چپ. برای $x < 0$ ضابطه $ax + 1$ است:

$$f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{ah + 1 - 1}{h} = a$$

گام ۴: برابر گذاشتن مشتق چپ و راست.

$$f'_-(0) = f'_+(0) \Rightarrow a = 3$$