سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

$$\frac{\Delta f}{\Delta t} = \frac{f(5) - f(0)}{5 - 0} = \frac{30 - 10}{5} = 4$$ $$f'(t) = 2t - 1 \Rightarrow f'(2) = 2(2) - 1 = 3$$

سرعت متوسط در یک بازه، تغییر مکان تقسیم بر مدت زمان است. ابتدا مکان متحرک را در دو سر بازه حساب می‌کنیم:

$$f(0) = 0 - 0 + 10 = 10 \qquad f(5) = 25 - 5 + 10 = 30$$ $$\text{سرعت متوسط} = \frac{f(5) - f(0)}{5 - 0} = \frac{30 - 10}{5} = 4\ \mathrm{m/s}$$

سرعت لحظه‌ای در لحظهٔ $t$، مشتق تابع مکان در آن لحظه است:

$$f'(t) = 2t - 1$$ $$f'(2) = 2(2) - 1 = 3\ \mathrm{m/s}$$

پس سرعت متوسط در بازهٔ $[0, 5]$ برابر ۴ متر بر ثانیه و سرعت لحظه‌ای در $t = 2$ برابر ۳ متر بر ثانیه است.