سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۱

برای حل معادلهٔ $\sin u = \sin \alpha$ از این قاعده استفاده می‌کنیم: دو زاویه سینوس برابر دارند اگر یا با هم برابر باشند (با اضافه شدن مضرب‌های $2\pi$)، یا مکمل هم باشند (با اضافه شدن مضرب‌های $2\pi$):

$$\sin u = \sin \alpha \Rightarrow u = 2k\pi + \alpha \quad \text{یا} \quad u = 2k\pi + \pi - \alpha \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

اینجا $u = 2x$ و $\alpha = x$ است.

حالت اول:

$$2x = 2k\pi + x \Rightarrow x = 2k\pi$$

حالت دوم:

$$2x = 2k\pi + \pi - x \Rightarrow 3x = 2k\pi + \pi \Rightarrow x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$$

پس جواب‌های معادله، همهٔ $x = 2k\pi$ و $x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$ با $k \in \mathbb{Z}$ هستند.

بررسی: برای $k = 0$ در حالت دوم، $x = \frac{\pi}{3}$:

$$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$$