سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

تابع در $x = -2$ پیوسته است.

$$f'_+(-2) = \lim_{x \to -2^+} \frac{|x^2 - 4| - 0}{x + 2} = 4$$ $$f'_-(-2) = \lim_{x \to -2^-} \frac{|x^2 - 4| - 0}{x + 2} = -4$$ $$\Rightarrow f'_+(-2) \ne f'_-(-2)$$

پس $f'(-2)$ موجود نیست.

گام ۱: پیوستگی. $x^2 - 4$ چندجمله‌ای و قدر مطلق هم پیوسته است؛ پس $f$ همه جا، از جمله در $x = -2$، پیوسته است و $f(-2) = |4 - 4| = 0$. (اگر تابع پیوسته نبود، بی‌درنگ می‌گفتیم مشتق‌پذیر نیست.)

گام ۲: تعریف مشتق. طبق تعریف، مشتق در $x = -2$ حد زیر است:

$$\lim_{x \to -2} \frac{f(x) - f(-2)}{x - (-2)} = \lim_{x \to -2} \frac{|x^2 - 4| - 0}{x + 2}$$

علامت $x^2 - 4$ در دو طرف $-2$ فرق می‌کند؛ پس مشتق راست و چپ را جدا حساب می‌کنیم.

مشتق راست ($x \to -2^+$): $x$ کمی بزرگ‌تر از $-2$ است (بین $-2$ و $2$)، پس $x^2 < 4$ و $x^2 - 4$ منفی است:

$$|x^2 - 4| = 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$$ $$f'_+(-2) = \lim_{x \to -2^+} \frac{(2 - x)(2 + x)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} (2 - x) = 4$$

مشتق چپ ($x \to -2^-$): $x$ کمی کوچک‌تر از $-2$ است، پس $x^2 > 4$ و $x^2 - 4$ مثبت است:

$$|x^2 - 4| = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ $$f'_-(-2) = \lim_{x \to -2^-} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} (x - 2) = -4$$

نتیجه: مشتق راست ($4$) با مشتق چپ ($-4$) برابر نیست؛ پس $f'(-2)$ وجود ندارد و تابع در $x = -2$ مشتق‌پذیر نیست (نمودار در این نقطه گوشه دارد).