سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

$$2\cos^2 x - 9\cos x - 5 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \ \ \text{یا} \ \ \cos x = 5$$

$\cos x = 5$ غیرقابل قبول است و از $\cos x = -\frac{1}{2}$:

$$x = 2k\pi \pm \frac{2\pi}{3}$$

گام ۱: مرتب کردن معادله. پرانتز را باز می‌کنیم و همه را به یک طرف می‌بریم:

$$2\cos^2 x - 9\cos x - 5 = 0$$

گام ۲: حل معادلهٔ درجهٔ دوم. اگر $t = \cos x$ بگیریم، معادله $2t^2 - 9t - 5 = 0$ می‌شود که تجزیه می‌شود:

$$(2t + 1)(t - 5) = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2} \ \ \text{یا} \ \ t = 5$$

گام ۳: کنار گذاشتن جواب نادرست. همیشه $-1 \le \cos x \le 1$؛ پس $\cos x = 5$ ممکن نیست و غیرقابل قبول است.

گام ۴: جواب کلی. می‌دانیم $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$؛ پس:

$$\cos x = \cos\frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = 2k\pi \pm \frac{2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$$