خرداد ۱۳۹۹

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۴ بارم کل۱۷ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

۰.۷۵ بارم

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید.

الف) تابع ثابت در یک بازه، هم صعودی و هم نزولی است.

ب) اگر تابع ff در x=ax = a پیوسته باشد، آنگاه ff در aa مشتق‌پذیر است.

ج) تابع f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x در بازهٔ (−1,1)(-1, 1) اکیداً صعودی است.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف) درست — ب) نادرست — ج) نادرست

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) درست. تابع صعودی یعنی با بزرگ شدن xx مقدار تابع کم نشود، و تابع نزولی یعنی با بزرگ شدن xx مقدار تابع زیاد نشود:

صعودی:  x1<x2⇒f(x1)≤f(x2)نزولی:  x1<x2⇒f(x1)≥f(x2)\text{صعودی:}\ \ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2) \qquad \text{نزولی:}\ \ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)

در تابع ثابت همیشه f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) است؛ پس هر دو شرط با هم برقرارند و تابع ثابت هم صعودی و هم نزولی است (البته نه اکیداً).

ب) نادرست. پیوستگی، مشتق‌پذیری را نتیجه نمی‌دهد (عکس آن درست است: هر تابع مشتق‌پذیر، پیوسته است). مثال: f(x)=∣x∣f(x) = |x| در x=0x = 0 پیوسته است، ولی نمودارش در این نقطه گوشه دارد؛ شیب سمت چپ −1-1 و شیب سمت راست +1+1 است، پس در x=0x = 0 مشتق‌پذیر نیست.

ج) نادرست. مشتق تابع را حساب می‌کنیم:

f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)

برای هر xx در بازهٔ (−1,1)(-1, 1)، عامل x−1x - 1 منفی و عامل x+1x + 1 مثبت است؛ پس f′(x)<0f'(x) < 0 و تابع در این بازه اکیداً نزولی است، نه صعودی. برای نمونه:

f(0)=0ولیf(12)=18−32=−118<0f(0) = 0 \quad \text{ولی} \quad f\left(\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{8} - \tfrac{3}{2} = -\tfrac{11}{8} < 0
این پاسخ مفید بود؟