سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

$$P(A) = P(B_1)P(A \mid B_1) + P(B_2)P(A \mid B_2)$$ $$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{8}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{100} = \frac{11}{200}$$

گام ۱: پیشامدها. پیشامد «نوزاد مبتلا باشد» را $A$ می‌نامیم. نوزاد یا پسر است ($B_1$) یا دختر ($B_2$)؛ این دو پیشامد با هم رخ نمی‌دهند و روی هم همهٔ حالت‌ها را می‌پوشانند. پس از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم:

$$P(A) = P(B_1)P(A \mid B_1) + P(B_2)P(A \mid B_2)$$

گام ۲: احتمال‌ها. احتمال پسر یا دختر بودن نوزاد برابر است: $P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$. احتمال ابتلا به شرط پسر بودن $P(A \mid B_1) = 0.08 = \frac{8}{100}$ و به شرط دختر بودن $P(A \mid B_2) = 0.03 = \frac{3}{100}$ است.

گام ۳: جای‌گذاری.

$$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{8}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{100} = \frac{8}{200} + \frac{3}{200} = \frac{11}{200}$$

یعنی احتمال ابتلای نوزاد $\frac{11}{200} = 0.055$ است.