سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

الف)

$$f'(x) = -6x^2 + 6x + 12 = 0 \Rightarrow x = -1 \ \ \text{یا} \ \ x = 2$$

ب) $f(0) = -9$ (مینیمم مطلق)، $f(2) = 11$ (ماکزیمم مطلق)، $f(3) = 0$

الف)

گام ۱: مشتق و ریشه‌های آن.

$$f'(x) = -6x^2 + 6x + 12 = -6(x^2 - x - 2) = -6(x - 2)(x + 1)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1 \ \ \text{یا} \ \ x = 2$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ منفی ($-6$) است؛ پس بیرونِ دو ریشه منفی و بین دو ریشه مثبت است. (برای نمونه $f'(0) = 12$ مثبت است و صفر بین دو ریشه است.)

گام ۳: مقدار تابع در نقطه‌های بحرانی.

$$f(-1) = -2(-1) + 3(1) + 12(-1) - 9 = 2 + 3 - 12 - 9 = -16$$ $$f(2) = -2(8) + 3(4) + 12(2) - 9 = -16 + 12 + 24 - 9 = 11$$

گام ۴: جدول تغییرات. هر جا $f'$ منفی است تابع نزولی و هر جا مثبت است تابع صعودی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: در $x = -1$ علامت $f'$ از منفی به مثبت عوض می‌شود، پس نقطهٔ $(-1, -16)$ مینیمم نسبی است. در $x = 2$ علامت $f'$ از مثبت به منفی عوض می‌شود، پس نقطهٔ $(2, 11)$ ماکزیمم نسبی است.

ب) تابع چندجمله‌ای روی بازهٔ بستهٔ $[0, 3]$ پیوسته است، پس ماکزیمم و مینیمم مطلق دارد. آن‌ها را در میان نقطه‌های بحرانی درون بازه و دو سر بازه پیدا می‌کنیم. از دو نقطهٔ بحرانی، فقط $x = 2$ درون بازه است ($x = -1$ بیرون است):

$$f(0) = -9 \qquad f(2) = 11 \qquad f(3) = -54 + 27 + 36 - 9 = 0$$

بزرگ‌ترین این مقدارها $11$ و کوچک‌ترین آن‌ها $-9$ است؛ پس در بازهٔ $[0, 3]$ ماکزیمم مطلق $f(2) = 11$ و مینیمم مطلق $f(0) = -9$ است.