سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

الف)

$$D_{gof} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\} = \{x \in (-\infty, 2] \mid \sqrt{4 - 2x} \in \mathbb{R}\} = (-\infty, 2]$$

ب)

$$gof(2) - \frac{f}{g}(0) = -1 - (-2) = 1$$

الف) طبق تعریف، $x$ در دامنهٔ $gof$ است اگر $x$ در دامنهٔ $f$ باشد و $f(x)$ در دامنهٔ $g$:

$$D_{gof} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}$$

دامنهٔ $f$: زیر رادیکال باید نامنفی باشد:

$$4 - 2x \ge 0 \Rightarrow x \le 2 \Rightarrow D_f = (-\infty, 2]$$

دامنهٔ $g$: $g$ چندجمله‌ای است، پس $D_g = \mathbb{R}$. هر مقدار $f(x)$ عددی حقیقی است و شرط $f(x) \in D_g$ همیشه برقرار است:

$$D_{gof} = \{x \in (-\infty, 2] \mid \sqrt{4 - 2x} \in \mathbb{R}\} = (-\infty, 2]$$

ب) هر بخش را جدا حساب می‌کنیم.

$$f(2) = \sqrt{4 - 4} = 0 \Rightarrow gof(2) = g\big(f(2)\big) = g(0) = 0 + 0 - 1 = -1$$ $$\frac{f}{g}(0) = \frac{f(0)}{g(0)} = \frac{\sqrt{4}}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$$

(چون $g(0) = -1 \ne 0$، این کسر تعریف شده است.) در نتیجه:

$$gof(2) - \frac{f}{g}(0) = -1 - (-2) = 1$$