سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

الف)

ب) $D = [-4, 6]$

الف) نمودار را در دو گام از نمودار $f$ به دست می‌آوریم.

گام ۱: از $f(x)$ به $f\left(\frac{1}{2}x\right)$. ضرب شدن $x$ در $\frac{1}{2}$، نمودار را در راستای افقی دو برابر باز می‌کند: هر نقطهٔ $(x, y)$ به $(2x, y)$ می‌رود.

گام ۲: از $f\left(\frac{1}{2}x\right)$ به $3f\left(\frac{1}{2}x\right)$. ضرب شدن کل تابع در $3$، نمودار را در راستای عمودی سه برابر می‌کشد: هر نقطهٔ $(x, y)$ به $(x, 3y)$ می‌رود.

پس روی هم هر نقطهٔ $(x, y)$ از نمودار $f$ به نقطهٔ $(2x, 3y)$ می‌رود. این کار را روی نقطه‌های مهم نمودار انجام می‌دهیم:

نقطه‌های تازه را مثل نمودار اصلی به هم وصل می‌کنیم: نیم‌دایرهٔ بالای محور $x$ به کمانی از $-4$ تا $0$ با بلندترین نقطهٔ $(-2, 3)$ تبدیل می‌شود، و دو پاره‌خط به پاره‌خط‌های $(0, 0)$ تا $(4, -6)$ و $(4, -6)$ تا $(6, 0)$. این همان شکل پاسخ است.

ب) نمودار $f$ از $x = -2$ تا $x = 3$ کشیده شده است؛ پس $D_f = [-2, 3]$. تابع $3f\left(\frac{1}{2}x\right)$ وقتی تعریف شده است که $\frac{1}{2}x$ در دامنهٔ $f$ باشد (ضریب $3$ بیرون تابع، دامنه را تغییر نمی‌دهد):

$$-2 \le \frac{1}{2}x \le 3 \Rightarrow -4 \le x \le 6$$

پس دامنه $D = [-4, 6]$ است؛ همان بازه‌ای که نمودار شکل پاسخ روی آن کشیده شده است.