سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

$$xy = 32 \rightarrow f(x) = (y + 2)(x + 4) = \frac{128}{x} + 40 + 2x$$ $$f'(x) = -\frac{128}{x^2} + 2 = 0 \rightarrow x = 8, \ y = 4$$

ابعاد صفحه $12 \times 6$ است.

گام ۱: نام‌گذاری. ارتفاع متن را $x$ و پهنای آن را $y$ سانتی‌متر می‌گیریم. مساحت متن $32$ است:

$$xy = 32 \Rightarrow y = \frac{32}{x}$$

گام ۲: ابعاد صفحه. بالا و پایین متن هر کدام $2$ سانتی‌متر حاشیه و دو طرف آن هر کدام $1$ سانتی‌متر حاشیه دارد؛ پس:

$$\text{ارتفاع صفحه} = x + 4 \qquad \text{پهنای صفحه} = y + 2$$

گام ۳: مساحت صفحه برحسب $x$.

$$f(x) = (x + 4)(y + 2) = xy + 2x + 4y + 8 = 32 + 2x + 4\cdot\frac{32}{x} + 8 = \frac{128}{x} + 40 + 2x$$

گام ۴: کمینه کردن. مشتق را برابر صفر می‌گذاریم:

$$f'(x) = -\frac{128}{x^2} + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8$$

(طول منفی معنا ندارد، پس $x = -8$ کنار می‌رود.) برای $x < 8$ مشتق منفی و برای $x > 8$ مثبت است؛ پس $x = 8$ واقعاً کمترین مساحت را می‌دهد. آنگاه:

$$y = \frac{32}{8} = 4$$

گام ۵: ابعاد صفحه.

$$x + 4 = 12 \qquad y + 2 = 6$$

پس صفحه باید $12$ سانتی‌متر ارتفاع و $6$ سانتی‌متر پهنا داشته باشد، یعنی ابعاد $12 \times 6$ (و کمترین مساحت $72\ \mathrm{cm^2}$).