سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

الف) $FF' = |3 - (-5)| = 8 = 2c \rightarrow c = 4$؛ مرکز $O\left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{3 - 5}{2}\right) = O(1, -1)$؛ معادلهٔ قطر بزرگ $x = 1$.

ب)

$$b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 16 = 20 \rightarrow b = \sqrt{20} \Rightarrow BB' = 2\sqrt{20}$$ $$e = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$$

الف) دو کانون $F(1, 3)$ و $F'(1, -5)$ طول یکسان دارند، پس روی یک خط قائم هستند.

فاصلهٔ کانونی فاصلهٔ دو کانون است و آن را $2c$ می‌نامیم:

$$FF' = |3 - (-5)| = 8 = 2c \Rightarrow c = 4$$

مرکز بیضی وسط پاره‌خط $FF'$ است:

$$O = \left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{3 + (-5)}{2}\right) = (1, -1)$$

قطر بزرگ روی خطی است که از دو کانون می‌گذرد. این خط قائم است و همهٔ نقطه‌هایش طول $1$ دارند؛ پس معادلهٔ آن $x = 1$ است.

ب) در بیضی، $a$ نصف قطر بزرگ، $b$ نصف قطر کوچک و $c$ نصف فاصلهٔ کانونی است و رابطهٔ $a^2 = b^2 + c^2$ برقرار است:

$$b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 16 = 20 \Rightarrow b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

اندازهٔ قطر کوچک $2b$ است:

$$BB' = 2b = 2\sqrt{20} = 4\sqrt{5}$$

خروج از مرکز بیضی:

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$