سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

الف) $\mathbb{R}$ — ب) صفر — ج) مماس قائم

الف) تانژانت در هر بازهٔ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ از $-\infty$ تا $+\infty$ بالا می‌رود: وقتی $x$ به $\frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شود، $\tan x$ به $+\infty$ و وقتی به $-\frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شود، به $-\infty$ می‌رود. پس هر عدد حقیقی مقدار تانژانت در نقطه‌ای است و برد آن $\mathbb{R}$ است.

ب) درجهٔ صورت (۱) از درجهٔ مخرج (۳) کمتر است. در بی‌نهایت، هر چندجمله‌ای مثل جملهٔ با بزرگ‌ترین توانش رفتار می‌کند:

پس حد برابر صفر است.

ج) مشتق $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ برابر است با:

وقتی $x \to 0$، مخرج به صفر و کسر به $+\infty$ می‌رود؛ یعنی شیب مماس بی‌نهایت بزرگ می‌شود و مماس در مبدأ عمودی است. تابع در $x = 0$ مشتق‌پذیر نیست و خط $x = 0$ مماس قائم منحنی است.