سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

الف)

$$f'(x) = 8\left(\frac{-3x + 1}{x^2 + 5}\right)^7 \times \frac{-3(x^2 + 5) - 2x(-3x + 1)}{(x^2 + 5)^2}$$

ب)

$$g'(x) = \left(-\frac{1}{x^2}\right)\left(\sqrt{3x + 2}\right) + \left(\frac{1}{x}\right)\left(\frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}\right)$$

الف) تابع به شکل $u^8$ است با $u = \dfrac{-3x + 1}{x^2 + 5}$. طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای:

$$(u^8)' = 8u^7 \cdot u'$$

$u$ کسر است؛ مشتق آن را با قاعدهٔ مشتق خارج قسمت می‌گیریم: $\left(\dfrac{A}{B}\right)' = \dfrac{A'B - AB'}{B^2}$، که در آن $A = -3x + 1$ و $A' = -3$، و $B = x^2 + 5$ و $B' = 2x$:

$$u' = \frac{-3(x^2 + 5) - 2x(-3x + 1)}{(x^2 + 5)^2}$$

با کنار هم گذاشتن این دو:

$$f'(x) = 8\left(\frac{-3x + 1}{x^2 + 5}\right)^7 \times \frac{-3(x^2 + 5) - 2x(-3x + 1)}{(x^2 + 5)^2}$$

(اگر بخواهیم ساده کنیم، صورت کسر دوم برابر $3x^2 - 2x - 15$ می‌شود؛ ولی سؤال ساده کردن را لازم ندانسته است.)

ب) $g$ حاصل‌ضرب دو تابع است؛ طبق قاعدهٔ مشتق ضرب: $(uv)' = u'v + uv'$، که در آن $u = \dfrac{1}{x}$ و $v = \sqrt{3x + 2}$:

$$u' = -\frac{1}{x^2} \qquad v' = \frac{(3x + 2)'}{2\sqrt{3x + 2}} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}$$

پس:

$$g'(x) = \left(-\frac{1}{x^2}\right)\left(\sqrt{3x + 2}\right) + \left(\frac{1}{x}\right)\left(\frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}\right)$$