سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

$$f'(x) = 3x^2 + 2bx$$ $$f'(2) = 0 \Rightarrow 12 + 4b = 0 \Rightarrow b = -3$$ $$f(2) = 1 \Rightarrow 8 + 4b + d = 1 \Rightarrow d = 5$$

از اینکه $(2, 1)$ نقطهٔ اکسترمم نسبی است، دو نتیجه می‌گیریم:

• تابع چندجمله‌ای و همه جا مشتق‌پذیر است؛ پس در نقطهٔ اکسترمم نسبی، مشتق صفر است: $f'(2) = 0$.
• نقطهٔ $(2, 1)$ روی نمودار است: $f(2) = 1$.

گام ۱: پیدا کردن $b$.

$$f'(x) = 3x^2 + 2bx \Rightarrow f'(2) = 12 + 4b = 0 \Rightarrow b = -3$$

گام ۲: پیدا کردن $d$.

$$f(2) = 8 + 4b + d = 1 \Rightarrow 8 - 12 + d = 1 \Rightarrow d = 5$$

بررسی: با این مقدارها $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ و $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ است. علامت $f'$ در $x = 2$ از منفی به مثبت عوض می‌شود، پس $(2, 1)$ واقعاً اکسترمم نسبی (مینیمم نسبی) است و $f(2) = 8 - 12 + 5 = 1$ ✓.