سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۹

الف)

$$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 1)(x + \sqrt{x + 6})}{x^2 - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 1)(x + \sqrt{x + 6})}{(x + 2)(x - 3)} = \frac{24}{5}$$

ب)

$$\lim_{x \to 3^-} \frac{-1}{x - 3} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$

الف) با گذاشتن $x = 3$، صورت $9 - 6 - 3 = 0$ و مخرج $3 - \sqrt{9} = 0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ است. چون مخرج رادیکال دارد، صورت و مخرج را در مزدوج مخرج یعنی $x + \sqrt{x + 6}$ ضرب می‌کنیم:

$$\big(x - \sqrt{x + 6}\big)\big(x + \sqrt{x + 6}\big) = x^2 - (x + 6) = x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$

صورت را هم تجزیه می‌کنیم: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$. حالا عامل $x - 3$ ساده می‌شود:

$$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 1)(x + \sqrt{x + 6})}{(x + 2)(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{(x + 1)(x + \sqrt{x + 6})}{x + 2}$$

و با گذاشتن $x = 3$:

$$\frac{(3 + 1)(3 + \sqrt{9})}{3 + 2} = \frac{4 \times 6}{5} = \frac{24}{5}$$

ب) وقتی $x$ از سمت چپ به $3$ نزدیک می‌شود، $x$ کمی کمتر از $3$ است (مثلاً $2.99$)؛ پس $[x] = 2$ و صورت برابر $2 - 3 = -1$ است. مخرج $x - 3$ عددی منفی و بسیار نزدیک به صفر است ($0^-$):

$$\lim_{x \to 3^-} \frac{[x] - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-1}{x - 3} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$

تقسیم یک عدد منفی بر عددی منفی و بسیار کوچک، عددی مثبت و بسیار بزرگ می‌دهد؛ پس حد برابر $+\infty$ است.