سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۱

$$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{|x^2 - 1| - 0}{x - 1} = 2$$ $$y - 0 = 2(x - 1)$$

شیب نیم‌مماس راست، همان مشتق راست تابع در $x = 1$ است:

$$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$$

گام ۱: نقطهٔ تماس.

$$f(1) = |1 - 1| = 0$$

پس نقطهٔ تماس $(1, 0)$ است.

گام ۲: برداشتن قدرمطلق. وقتی $x$ از سمت راست به ۱ نزدیک می‌شود (مثلاً $x = 1.1$)، $x^2$ کمی از ۱ بزرگ‌تر است؛ پس $x^2 - 1 > 0$ و

$$|x^2 - 1| = x^2 - 1$$

گام ۳: محاسبهٔ مشتق راست. صورت را با اتحاد مزدوج تجزیه می‌کنیم:

$$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 2$$

گام ۴: معادلهٔ خط. خطی که از $(1, 0)$ می‌گذرد و شیبش ۲ است:

$$y - 0 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x - 2$$

نیم‌مماس راست، بخشی از این خط است که از نقطهٔ $(1, 0)$ به سمت راست ($x \ge 1$) می‌رود.