سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۱

الف)

ب) $D_g = [-1, 5]$

از روی شکل، نمودار $f$ دو پاره‌خط است: از $(-2, 3)$ تا $(1, -2)$ و از $(1, -2)$ تا $(4, 0)$، و هر دو سرِ نمودار توپر است. پس:

$$D_f = [-2, 4]$$

الف) نمودار $g(x) = 2f(x - 1)$ با دو تبدیل از نمودار $f$ ساخته می‌شود:

گام ۱: $f(x - 1)$ یعنی نمودار $f$ یک واحد به راست منتقل شود؛ هر نقطهٔ $(x, y)$ به $(x + 1, y)$ می‌رود.

گام ۲: ضرب در ۲ یعنی عرض هر نقطه دو برابر شود؛ نقطهٔ $(x + 1, y)$ به $(x + 1, 2y)$ می‌رود.

پس هر نقطهٔ $(x, y)$ از نمودار $f$ به نقطهٔ $(x + 1, 2y)$ از نمودار $g$ می‌رود. این کار را برای سه نقطهٔ اصلی انجام می‌دهیم:

این دو تبدیل پاره‌خط را به پاره‌خط می‌برند؛ پس کافی است نقطه‌های جدید را به همان ترتیب با پاره‌خط به هم وصل کنیم: از $(-1, 6)$ تا $(2, -4)$ و از $(2, -4)$ تا $(5, 0)$ (نمودار آبی در پاسخ).

ب) $g(x) = 2f(x - 1)$ وقتی تعریف شده است که $x - 1$ در دامنهٔ $f$ باشد:

$$-2 \le x - 1 \le 4 \Rightarrow -1 \le x \le 5$$ $$D_g = [-1, 5]$$

همین را از روی نمودار $g$ هم می‌بینیم: طول نقطه‌های آن از $-1$ تا $5$ است.