سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۱

الف)

$$f'(x) = \frac{-2(x + 4) - 1(-2x + 3)}{(x + 4)^2}$$

ب)

$$g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}(x^2 + 2x) + (2x + 2)(\sqrt{3x + 1})$$

الف) مشتق خارج‌قسمت. برای $f = \frac{u}{v}$:

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

اینجا $u = -2x + 3$ و $v = x + 4$؛ پس $u' = -2$ و $v' = 1$. با جای‌گذاری:

$$f'(x) = \frac{-2(x + 4) - 1(-2x + 3)}{(x + 4)^2}$$

اگر بخواهیم ساده کنیم، صورت برابر $-2x - 8 + 2x - 3 = -11$ است:

$$f'(x) = \frac{-11}{(x + 4)^2}$$

ب) مشتق حاصل‌ضرب. برای $g = u \cdot v$:

$$(uv)' = u'v + uv'$$

اینجا $u = \sqrt{3x + 1}$ و $v = x^2 + 2x$.

مشتق رادیکال با قاعدهٔ زنجیره‌ای: $\left(\sqrt{w}\right)' = \dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$ و چون $w = 3x + 1$ و $w' = 3$:

$$u' = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} , \qquad v' = 2x + 2$$

با جای‌گذاری:

$$g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}(x^2 + 2x) + (2x + 2)(\sqrt{3x + 1})$$