سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۱

الف)

$$O\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right) = (2, -1) , \qquad R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c} = 3$$

ب) خیر؛ زیرا

$$(0)^2 + (3)^2 + 2(3) - 4(0) - 4 \ne 0$$

الف) معادلهٔ گستردهٔ دایره به شکل $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ است. در این معادله ضریب $x$ برابر $-4$، ضریب $y$ برابر $2$ و عدد ثابت $-4$ است:

$$a = -4 , \quad b = 2 , \quad c = -4$$

مرکز دایره:

$$O\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right) = \left(-\frac{-4}{2}, -\frac{2}{2}\right) = (2, -1)$$

شعاع دایره:

$$R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c} = \frac{1}{2}\sqrt{16 + 4 + 16} = \frac{1}{2}\sqrt{36} = 3$$

برای اطمینان، با مربع کامل کردن هم به همین می‌رسیم:

$$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 4 + 4 + 1 \Rightarrow (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$$

ب) نقطه‌ای روی محیط دایره است که مختصاتش در معادلهٔ دایره صدق کند. مختصات $A(0, 3)$ را جای‌گذاری می‌کنیم:

$$(0)^2 + (3)^2 + 2(3) - 4(0) - 4 = 0 + 9 + 6 - 0 - 4 = 11 \ne 0$$

پس $A$ روی محیط دایره نیست. (در واقع فاصلهٔ $A$ تا مرکز $\sqrt{(0 - 2)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{20}$ است که از شعاع ۳ بیشتر است؛ یعنی $A$ بیرون دایره قرار دارد.)