سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۱

الف)

$$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} \times \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} = \lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{1}{6}$$

ب)

$$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$

پ)

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{2 - x}{5x + 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{5x} = -\frac{1}{5}$$

الف) با جای‌گذاری $x = 9$، صورت و مخرج هر دو صفر می‌شوند (حالت $\frac{0}{0}$). صورت و مخرج را در مزدوج صورت، یعنی $\sqrt{x} + 3$، ضرب می‌کنیم. چون $(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) = x - 9$:

$$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} = \lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$$

حالا جای‌گذاری مشکلی ندارد:

$$\frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}$$

ب) وقتی $x$ از سمت راست به $\frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شود، $x$ کمی بزرگ‌تر از $\frac{\pi}{2}$ و در ربع دوم است. در ربع دوم کسینوس منفی است و در نزدیکی $\frac{\pi}{2}$ به صفر نزدیک می‌شود؛ یعنی $\cos x \to 0^-$. عدد ۱ تقسیم بر عددی منفی و بسیار کوچک، عددی منفی و بسیار بزرگ است:

$$\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$

پ) در حد یک تابع گویا وقتی $x \to -\infty$، فقط جمله‌های با بالاترین توان صورت و مخرج تعیین‌کننده‌اند:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{2 - x}{5x + 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{5x} = -\frac{1}{5}$$

به بیان دیگر، اگر صورت و مخرج را بر $x$ تقسیم کنیم، $\frac{2}{x}$ و $\frac{4}{x}$ به صفر میل می‌کنند و $\frac{\frac{2}{x} - 1}{5 + \frac{4}{x}} \to \frac{-1}{5}$.