سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۱

$$y = 8 - x \Rightarrow S(x) = -x^2 + 8x$$ $$S'(x) = -2x + 8 = 0 \Rightarrow x = 4 , \quad y = 4$$

گام ۱: متغیرها. طول مستطیل را $x$ و عرض آن را $y$ می‌گیریم. محیط ۱۶ سانتی‌متر است:

$$2(x + y) = 16 \Rightarrow x + y = 8 \Rightarrow y = 8 - x$$

گام ۲: مساحت بر حسب یک متغیر.

$$S = xy = x(8 - x) = -x^2 + 8x \qquad (0 < x < 8)$$

گام ۳: مشتق و نقطهٔ بحرانی.

$$S'(x) = -2x + 8 = 0 \Rightarrow x = 4$$

برای $x < 4$ مشتق مثبت است (مساحت زیاد می‌شود) و برای $x > 4$ منفی است (مساحت کم می‌شود)؛ پس $S$ در $x = 4$ بیشترین مقدار را دارد. (نمودار $S$ هم سهمی رو به پایین است که رأسش در $x = 4$ است.)

گام ۴: نتیجه.

$$y = 8 - 4 = 4$$

پس در مستطیلی که بیشترین مساحت را دارد، $x = y = 4$؛ یعنی طول و عرض هم‌اندازه‌اند (مربع است) و مساحت آن $16$ سانتی‌متر مربع است.