سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۱

الف) درست — ب) نادرست — پ) درست

الف) درست. هر بازهٔ بازی که عدد $a$ را در خود داشته باشد، یک همسایگی $a$ است. عدد ۴ درون بازهٔ باز $(2, 5)$ قرار دارد:

پس بازهٔ $(2, 5)$ یک همسایگی ۴ است.

ب) نادرست. تابع جزء صحیح در صفر پیوسته نیست. کمی چپ‌تر از صفر (مثلاً $x = -0.1$) مقدار آن $-1$ است، ولی در خود صفر مقدارش $0$ است:

تابعی که در یک نقطه پیوسته نباشد، در آن نقطه مشتق‌پذیر هم نیست (هر تابع مشتق‌پذیر، پیوسته است). پس $y = [x]$ در صفر مشتق ندارد.

پ) درست. نقطهٔ بحرانی نقطه‌ای از دامنه است که مشتق تابع در آن صفر باشد یا وجود نداشته باشد. مشتق تابع ثابت $f(x) = k$ در همه‌جا صفر است:

پس در هر نقطهٔ دلخواه $c$ از دامنه، $f'(c) = 0$ است و آن نقطه بحرانی است.