سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۱

$$P(R) = P(A_1)P(R \mid A_1) + P(A_2)P(R \mid A_2) + P(A_3)P(R \mid A_3) + P(A_4)P(R \mid A_4)$$ $$P(R) = \frac{1}{4} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{4} \times 1 + \frac{1}{4} \times \frac{4}{12} + \frac{1}{4} \times 0 = \frac{29}{60}$$

گام ۱: پیشامدها. $A_i$ را پیشامد «انتخاب ظرف $i$ام» و $R$ را پیشامد «قرمز بودن مهره» می‌گیریم. ظرف‌ها یکسان‌اند و با چشم بسته انتخاب می‌شوند، پس شانس هر ظرف برابر است:

$$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4) = \frac{1}{4}$$

گام ۲: احتمال قرمز بودن در هر ظرف (احتمال شرطی).

$$P(R \mid A_1) = \frac{6}{10} , \quad P(R \mid A_2) = 1 , \quad P(R \mid A_3) = \frac{4}{12} , \quad P(R \mid A_4) = 0$$

گام ۳: قانون احتمال کل. چون یکی و فقط یکی از ظرف‌ها انتخاب می‌شود، $A_1$ تا $A_4$ فضای نمونه را افراز می‌کنند و:

$$P(R) = P(A_1)P(R \mid A_1) + P(A_2)P(R \mid A_2) + P(A_3)P(R \mid A_3) + P(A_4)P(R \mid A_4)$$

گام ۴: محاسبه.

$$P(R) = \frac{1}{4} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{4} \times 1 + \frac{1}{4} \times \frac{4}{12} + \frac{1}{4} \times 0 = \frac{3}{20} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + 0$$

با مخرج مشترک ۶۰:

$$P(R) = \frac{9}{60} + \frac{15}{60} + \frac{5}{60} = \frac{29}{60}$$