سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۱

$$1 - 2\sin^2 x - 3\sin x + 4 = 0 \Rightarrow -2\sin^2 x - 3\sin x + 5 = 0$$ $$\Rightarrow \begin{cases} \sin x = -\frac{5}{2} & \text{غیرقابل‌قبول} \\[4pt] \sin x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

گام ۱: یکی کردن نسبت‌ها. در معادله هم $\cos 2x$ هست و هم $\sin x$. با اتحاد

$$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$

همه‌چیز را بر حسب $\sin x$ می‌نویسیم:

$$1 - 2\sin^2 x - 3\sin x + 4 = 0 \Rightarrow -2\sin^2 x - 3\sin x + 5 = 0$$

گام ۲: حل معادلهٔ درجهٔ دوم. اگر $t = \sin x$ بگیریم و دو طرف را در $-1$ ضرب کنیم:

$$2t^2 + 3t - 5 = 0$$

مجموع ضریب‌ها $2 + 3 - 5 = 0$ است؛ پس $t = 1$ یک ریشه است و ریشهٔ دیگر $\frac{c}{a} = -\frac{5}{2}$ است:

$$(t - 1)(2t + 5) = 0 \Rightarrow t = 1 \quad \text{یا} \quad t = -\frac{5}{2}$$

گام ۳: برگشت به $\sin x$. مقدار سینوس همیشه بین $-1$ و $1$ است؛ پس $\sin x = -\frac{5}{2}$ غیرقابل‌قبول است و فقط $\sin x = 1$ می‌ماند. سینوس فقط در زاویهٔ $\frac{\pi}{2}$ و دورهای کامل آن برابر ۱ است:

$$\sin x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} \qquad (k \in \mathbb{Z})$$