سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۱

$$f'(x) = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = 2 , \ x = -2$$

تابع در بازه‌های $(-\infty, -2)$ و $(2, +\infty)$ اکیداً صعودی است.

گام ۱: مشتق و ریشه‌های آن.

$$f'(x) = 3x^2 - 12$$ $$3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \ \ \text{یا} \ \ x = -2$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ یک عبارت درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ مثبت است؛ پس بیرونِ دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی است. (برای نمونه $f'(0) = -12$ منفی است و صفر بین دو ریشه قرار دارد.)

گام ۳: جدول تغییرات. هر جا $f'$ مثبت است تابع صعودی و هر جا منفی است تابع نزولی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

(مقدارهای تابع: $f(-2) = -8 + 24 + 4 = 20$ و $f(2) = 8 - 24 + 4 = -12$.)

نتیجه: $f'$ در بازه‌های $(-\infty, -2)$ و $(2, +\infty)$ مثبت است؛ پس تابع در این دو بازه اکیداً صعودی است.