سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

$$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\frac{1}{x} - 1}{x - 1} = -1$$ $$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1 - 1}{x - 1} = 0$$ $$f'_+(1) \ne f'_-(1)$$

پس $f'(1)$ موجود نیست.

از روی شکل، ضابطهٔ تابع در دو طرف نقطهٔ $A(1, 1)$ این است:

$$f(x) = \begin{cases} 1 & x \le 1 \\[4pt] \dfrac{1}{x} & x \ge 1 \end{cases} \qquad f(1) = 1$$

مشتق در یک نقطه با حد نسبت تغییرات حساب می‌شود:

$$f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$$

مشتق راست (از سمت $x > 1$): اینجا $f(x) = \frac{1}{x}$ است:

$$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\frac{1}{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\frac{1 - x}{x}}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{-1}{x} = -1$$

مشتق چپ (از سمت $x < 1$): اینجا $f(x) = 1$ است:

$$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{0}{x - 1} = 0$$

نتیجه: مشتق راست و مشتق چپ در $x = 1$ برابر نیستند ($-1 \ne 0$)، پس $f'(1)$ وجود ندارد و تابع در نقطهٔ $A$ مشتق‌پذیر نیست. در شکل هم این را می‌بینیم: نمودار در $A$ یک نقطهٔ گوشه‌دار دارد؛ شیب سمت چپ صفر (خط افقی) و شیب سمت راست منفی است.