سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

$$P(A) = P(B_1)P(A \mid B_1) + P(B_2)P(A \mid B_2)$$ $$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{8}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{100} = \frac{11}{200}$$

گام ۱: پیشامدها. پیشامدها را این‌طور نام‌گذاری می‌کنیم:

• $B_1$: نوزاد پسر باشد؛ $B_2$: نوزاد دختر باشد.
• $A$: نوزاد به بیماری مبتلا شود.

نوزاد یا پسر است یا دختر، و احتمال هر کدام $\frac{1}{2}$ است:

$$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$$

احتمال ابتلا به شرط پسر بودن و به شرط دختر بودن را سؤال داده است:

$$P(A \mid B_1) = 0.08 = \frac{8}{100} , \qquad P(A \mid B_2) = 0.03 = \frac{3}{100}$$

گام ۲: قانون احتمال کل. چون $B_1$ و $B_2$ همهٔ حالت‌ها را بدون هم‌پوشانی می‌پوشانند:

$$P(A) = P(B_1)P(A \mid B_1) + P(B_2)P(A \mid B_2)$$

گام ۳: جای‌گذاری.

$$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{8}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{100} = \frac{8}{200} + \frac{3}{200} = \frac{11}{200}$$

یعنی احتمال ابتلای نوزاد $\frac{11}{200} = 0.055$ (پنج و نیم درصد) است.