سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

الف) $(-1, 1)$ یا $[-1, 1]$

ب) $2$

الف) تابع جایی اکیداً نزولی است که مشتقش منفی باشد:

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$$ $$f'(x) < 0 \Rightarrow -1 < x < 1$$

پس $f$ در بازهٔ $(-1, 1)$ اکیداً نزولی است. چون تابع در دو سر بازه پیوسته است، می‌توان دو سر را هم افزود و بازهٔ $[-1, 1]$ را نوشت؛ هر دو پاسخ پذیرفته است.

ب) معادله را به شکل استاندارد دایره می‌بریم (مربع کامل برای $x$):

$$x^2 - 2x + y^2 = 3 \Rightarrow (x - 1)^2 - 1 + y^2 = 3 \Rightarrow (x - 1)^2 + y^2 = 4$$

مرکز دایره $(1, 0)$ و مربع شعاع $4$ است؛ پس شعاع برابر $2$ است.