سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

$$y = 7 - x \Rightarrow S = (y)(x) = 7x - x^2$$ $$S'(x) = 7 - 2x = 0 \Rightarrow x = 3.5 , \quad y = 3.5$$

گام ۱: متغیرها. طول مستطیل را $x$ و عرض آن را $y$ می‌گیریم. محیط ۱۴ سانتی‌متر است:

$$2(x + y) = 14 \Rightarrow x + y = 7 \Rightarrow y = 7 - x$$

گام ۲: مساحت بر حسب یک متغیر.

$$S(x) = xy = x(7 - x) = 7x - x^2 \qquad (0 < x < 7)$$

گام ۳: مشتق و نقطهٔ بحرانی.

$$S'(x) = 7 - 2x = 0 \Rightarrow x = 3.5$$

برای $x < 3.5$ مشتق مثبت است (مساحت زیاد می‌شود) و برای $x > 3.5$ منفی است (مساحت کم می‌شود)؛ پس مساحت در $x = 3.5$ بیشترین مقدار را دارد.

گام ۴: نتیجه.

$$y = 7 - 3.5 = 3.5$$

پس طول و عرض هر دو $3.5$ سانتی‌متر است (مستطیل در این حالت مربع است) و بیشترین مساحت $3.5 \times 3.5 = 12.25$ سانتی‌متر مربع است.