سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

الف)

$$D_f = [1, +\infty) , \qquad D_g = \mathbb{R}$$ $$D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\} = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x^2 - 1 \in D_f\} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$$

ب) $(gof)(2) = 1$

الف) طبق تعریف، $x$ در دامنهٔ $fog$ است اگر $x$ در دامنهٔ $g$ باشد و $g(x)$ در دامنهٔ $f$.

گام ۱: دامنهٔ هر تابع. زیر رادیکال با فرجهٔ زوج نباید منفی باشد:

$$x - 1 \ge 0 \Rightarrow D_f = [1, +\infty)$$

$g$ یک چندجمله‌ای است، پس $D_g = \mathbb{R}$.

گام ۲: شرط $g(x) \in D_f$.

$$2x^2 - 1 \ge 1 \Rightarrow 2x^2 \ge 2 \Rightarrow x^2 \ge 1 \Rightarrow x \le -1 \ \ \text{یا} \ \ x \ge 1$$

نتیجه:

$$D_{fog} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$$

ب) در $gof$ اول $f$ و بعد $g$ اثر می‌کند:

$$f(2) = \sqrt{2 - 1} = 1$$ $$(gof)(2) = g\big(f(2)\big) = g(1) = 2(1)^2 - 1 = 1$$