سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

الف)

$$FF' = |3 - (-5)| = 8 = 2c \Rightarrow c = 4$$

مرکز:

$$O\left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{3 - 5}{2}\right) = O(1, -1)$$

ب)

$$b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 16 = 20 \Rightarrow b = \sqrt{20} \Rightarrow BB' = 2\sqrt{20}$$

دو کانون $F(1, 3)$ و $F'(1, -5)$ طول یکسان دارند؛ پس روی یک خط قائم‌اند و قطر بزرگ بیضی قائم است.

الف) فاصلهٔ کانونی، فاصلهٔ دو کانون از هم است. چون طول‌ها برابرند، فقط عرض‌ها را از هم کم می‌کنیم:

$$FF' = |3 - (-5)| = 8$$

این فاصله برابر $2c$ است، پس $c = 4$.

مرکز بیضی وسط پاره‌خط $FF'$ است:

$$x_O = \frac{1 + 1}{2} = 1 , \qquad y_O = \frac{3 + (-5)}{2} = -1 \Rightarrow O(1, -1)$$

ب) در بیضی، نصف قطر بزرگ $a$، نصف قطر کوچک $b$ و نصف فاصلهٔ کانونی $c$ با این رابطه به هم مربوط‌اند:

$$a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 16 = 20$$ $$b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

قطر کوچک دو برابر $b$ است:

$$BB' = 2b = 2\sqrt{20} = 4\sqrt{5}$$