سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

الف)

$$f'(x) = \frac{9\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(9x - 2)}{(\sqrt{x})^2}$$

ب)

$$g'(x) = (6x)(2x - 5)^3 + (3)(2)(2x - 5)^2(3x^2 - 4)$$

الف) تابع به شکل کسر $\frac{u}{v}$ است، با $u = 9x - 2$ و $v = \sqrt{x}$. قاعدهٔ مشتق تقسیم:

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - v'u}{v^2}$$

مشتق هر قسمت:

$$u' = 9 , \qquad v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

جای‌گذاری:

$$f'(x) = \frac{9\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(9x - 2)}{(\sqrt{x})^2}$$

(اگر بخواهیم ساده کنیم، صورت و مخرج را در $2\sqrt{x}$ ضرب می‌کنیم و به $f'(x) = \dfrac{9x + 2}{2x\sqrt{x}}$ می‌رسیم؛ ولی سؤال ساده کردن را لازم ندانسته است.)

ب) تابع حاصل‌ضرب دو عامل است، با $u = 3x^2 - 4$ و $v = (2x - 5)^3$. قاعدهٔ مشتق ضرب:

$$(uv)' = u'v + v'u$$

مشتق هر عامل (برای $v$ از قاعدهٔ زنجیره‌ای: توان پایین می‌آید و در مشتق داخل پرانتز ضرب می‌شود):

$$u' = 6x , \qquad v' = 3(2x - 5)^2 \times 2$$

جای‌گذاری:

$$g'(x) = (6x)(2x - 5)^3 + (3)(2)(2x - 5)^2(3x^2 - 4)$$