سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

$$f'(2) = 0 \Rightarrow 12 + 4b = 0 \Rightarrow b = -3$$ $$f(2) = 1 \Rightarrow 4b + d = -7$$ $$-12 + d = -7 \Rightarrow d = 5$$

از این که $(2, 1)$ نقطهٔ اکسترمم نسبی است، دو معادله به دست می‌آید.

گام ۱: مشتق در نقطهٔ اکسترمم صفر است. تابع چندجمله‌ای است و همه‌جا مشتق دارد، پس در نقطهٔ اکسترمم نسبی مشتقش صفر است:

$$f'(x) = 3x^2 + 2bx$$ $$f'(2) = 3(4) + 2b(2) = 12 + 4b = 0 \Rightarrow b = -3$$

گام ۲: نقطه روی نمودار است. یعنی $f(2) = 1$:

$$f(2) = 8 + 4b + d = 1 \Rightarrow 4b + d = -7$$

با $b = -3$:

$$-12 + d = -7 \Rightarrow d = 5$$

بررسی: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ و $f(2) = 8 - 12 + 5 = 1$. مشتق $f'(x) = 3x(x - 2)$ در $x = 2$ از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد؛ پس $(2, 1)$ واقعاً اکسترمم نسبی (مینیمم نسبی) است.