سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

$$c = \frac{5 + 1}{2} = 3 , \qquad |a| = \frac{5 - 1}{2} = 2 , \quad a > 0 \Rightarrow a = 2$$ $$b = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 3$$

یا $y = 2\cos\left(-\dfrac{x}{2}\right) + 3$

از روی نمودار، بیشترین مقدار تابع $5$ و کمترین مقدار آن $1$ است.

گام ۱: پیدا کردن $c$. خط وسط نمودار (میانگین بیشینه و کمینه) برابر $c$ است:

$$c = \frac{\max + \min}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

گام ۲: پیدا کردن $a$. دامنهٔ نوسان (نصف فاصلهٔ بیشینه تا کمینه) برابر $|a|$ است:

$$|a| = \frac{\max - \min}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

نمودار در $x = 0$ در بیشترین مقدار است. چون $\cos 0 = 1$، داریم $a + c = 5$؛ پس $a = 5 - 3 = 2$ که مثبت است.

گام ۳: پیدا کردن $b$. نمودار از بیشینهٔ $x = 0$ تا بیشینهٔ بعدی در $x = 4\pi$ یک دور کامل می‌زند؛ پس دورهٔ تناوب $T = 4\pi$ است. برای $\cos bx$ دورهٔ تناوب $\frac{2\pi}{|b|}$ است:

$$\frac{2\pi}{|b|} = 4\pi \Rightarrow |b| = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$$

نتیجه:

$$y = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 3$$

بررسی: در $x = 2\pi$ داریم $2\cos\pi + 3 = -2 + 3 = 1$ که همان کمینهٔ نمودار است.