سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

الف)

$$\lim_{x \to 5} \frac{(2 - \sqrt{x - 1})(2 + \sqrt{x - 1})}{(x - 5)(2 + \sqrt{x - 1})} = \lim_{x \to 5} \frac{-(x - 5)}{(x - 5)(2 + \sqrt{x - 1})} = -\frac{1}{4}$$

ب)

$$\lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{-1}{|3x + 1|} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$

مخرج در نزدیکی $-\frac{1}{3}$ با مقادیر مثبت به صفر میل می‌کند و حد صورت هم در $-\frac{1}{3}$ برابر $-1$ است؛ بنابراین جواب حد برابر $-\infty$ می‌شود.

ج)

$$\frac{3 + 0}{0 - 5} = -\frac{3}{5}$$

الف) با جای‌گذاری $x = 5$ صورت $2 - \sqrt{4} = 0$ و مخرج هم $0$ می‌شود (حالت مبهم $\frac{0}{0}$). صورت و مخرج را در مزدوج صورت، یعنی $2 + \sqrt{x - 1}$، ضرب می‌کنیم:

$$(2 - \sqrt{x - 1})(2 + \sqrt{x - 1}) = 4 - (x - 1) = 5 - x = -(x - 5)$$ $$\lim_{x \to 5} \frac{-(x - 5)}{(x - 5)(2 + \sqrt{x - 1})} = \lim_{x \to 5} \frac{-1}{2 + \sqrt{x - 1}} = \frac{-1}{2 + 2} = -\frac{1}{4}$$

ب) وقتی $x$ به $-\frac{1}{3}$ نزدیک می‌شود (از چپ یا از راست)، $x$ بین $-1$ و $0$ است؛ پس جزء صحیح آن ثابت است:

$$[x] = -1$$

مخرج $|3x + 1|$ به صفر میل می‌کند، و چون قدر مطلق است همیشه مثبت است؛ پس مخرج از طرف مقادیر مثبت به صفر نزدیک می‌شود ($0^+$). تقسیم عدد منفی $-1$ بر عددهای مثبتِ بسیار کوچک، عددهای منفیِ بسیار بزرگ می‌دهد:

$$\lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{-1}{|3x + 1|} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$

ج) وقتی $x \to +\infty$، کسرهای $\frac{1}{x^2}$ و $\frac{4}{x}$ به صفر میل می‌کنند:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{3 + \frac{1}{x^2}}{\frac{4}{x} - 5} = \frac{3 + 0}{0 - 5} = -\frac{3}{5}$$