سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

الف) درست — ب) درست

الف) درست. نقطهٔ بحرانی تابع، نقطه‌ای درون دامنه است که مشتق تابع در آن صفر باشد یا وجود نداشته باشد. اگر تابع در نقطه‌ای اکسترمم نسبی داشته باشد، یا در آن نقطه مشتق‌پذیر است که در این صورت مماس افقی دارد و مشتق صفر است، یا مشتق‌پذیر نیست (مثل نقطهٔ گوشه‌دار $|x|$ در صفر). در هر دو حالت آن نقطه بحرانی است.

ب) درست. خروج از مرکز بیضی برابر است با

هرچه $e$ به صفر نزدیک‌تر باشد، $c$ (نصف فاصلهٔ دو کانون) در مقایسه با $a$ کوچک‌تر است؛ یعنی دو کانون به مرکز نزدیک می‌شوند و از رابطهٔ $b^2 = a^2 - c^2$ نصف قطر کوچک $b$ به $a$ نزدیک می‌شود. پس شکل بیضی به دایره نزدیک‌تر می‌شود.