سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

$$\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$$ $$2x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{6} , \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$2x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{3} , \quad k \in \mathbb{Z}$$

گام ۱: استفاده از اتحاد سینوس دو برابر کمان. می‌دانیم $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. پس دو طرف معادله را در $2$ ضرب می‌کنیم:

$$2\sin x \cos x = \frac{2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

گام ۲: نوشتن طرف راست به صورت سینوس یک زاویهٔ معلوم.

$$\sin 2x = \sin\frac{\pi}{3}$$

گام ۳: جواب کلی معادلهٔ $\sin u = \sin \alpha$. جواب‌ها $u = 2k\pi + \alpha$ و $u = 2k\pi + \pi - \alpha$ هستند. اینجا $u = 2x$ و $\alpha = \frac{\pi}{3}$:

$$2x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{6}$$ $$2x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{3}$$

که در هر دو، $k$ عددی صحیح است ($k \in \mathbb{Z}$).