سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۰

$$d = \frac{|3 \times 2 - 4(-3) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 4$$ $$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$ $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$$

برای نوشتن معادلهٔ دایره، مرکز را داریم و فقط شعاع $R$ لازم است.

گام ۱: فاصلهٔ مرکز از خط. فاصلهٔ نقطهٔ $(x_0, y_0)$ از خط $ax + by + c = 0$ برابر است با

$$d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

با $O(2, -3)$ و خط $3x - 4y + 2 = 0$:

$$d = \frac{|3 \times 2 - 4(-3) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 12 + 2|}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$$

گام ۲: شعاع از روی مثلث قائم‌الزاویه. عمودی که از مرکز بر وتر رسم شود، وتر را نصف می‌کند؛ پس در شکل، مثلثی قائم‌الزاویه داریم با ضلع‌های $d = 4$ و نصف وتر $\frac{6}{2} = 3$، و وتر آن شعاع $R$ است. طبق فیثاغورس:

$$R^2 = d^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow R = 5$$

گام ۳: معادلهٔ دایره. دایره‌ای به مرکز $(h, k)$ و شعاع $R$ معادلهٔ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2$ دارد:

$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$$