سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

الف)

$$f'(x) = 5\left(\frac{x^2}{3x - 1}\right)^4 \left(\frac{2x(3x - 1) - 3x^2}{(3x - 1)^2}\right)$$

ب)

$$g'(x) = \left(\frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}\right)(x^3 + 1) + 3x^2\left(\sqrt{3x + 2}\right)$$

الف) تابع، توانی از یک کسر است. از قاعدهٔ مشتق توان (زنجیره‌ای) استفاده می‌کنیم:

$$(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u' \qquad \text{با} \quad u = \frac{x^2}{3x - 1} , \ n = 5$$

مشتق کسر $u$ را با قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت به دست می‌آوریم:

$$\left(\frac{p}{q}\right)' = \frac{p'q - p\,q'}{q^2} \Rightarrow u' = \frac{2x(3x - 1) - x^2 \times 3}{(3x - 1)^2}$$

با کنار هم گذاشتن این دو:

$$f'(x) = 5\left(\frac{x^2}{3x - 1}\right)^4 \cdot \frac{2x(3x - 1) - 3x^2}{(3x - 1)^2}$$

(اگر بخواهیم ساده کنیم، صورت کسر دوم برابر $6x^2 - 2x - 3x^2 = 3x^2 - 2x$ است.)

ب) تابع، حاصل‌ضرب دو عامل است. از قاعدهٔ مشتق ضرب استفاده می‌کنیم:

$$(uv)' = u'v + u\,v' \qquad \text{با} \quad u = \sqrt{3x + 2} , \ v = x^3 + 1$$

مشتق رادیکال: $\left(\sqrt{w}\right)' = \frac{w'}{2\sqrt{w}}$، پس:

$$u' = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}} , \qquad v' = 3x^2$$ $$g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}\,(x^3 + 1) + \sqrt{3x + 2}\cdot 3x^2$$