سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

$$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 - 0}{x - 0} = 0 , \qquad f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x - 0}{x - 0} = -1$$ $$\Rightarrow f'_+(0) \ne f'_-(0)$$

پس $f'(0)$ موجود نیست.

از روی شکل، ضابطهٔ تابع این است:

$$f(x) = \begin{cases} -x & x < 0 \\ x^2 & x \ge 0 \end{cases}$$

و نقطهٔ $A$ مبدأ است: $f(0) = 0$.

مشتق راست: برای $x > 0$ داریم $f(x) = x^2$:

$$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} x = 0$$

مشتق چپ: برای $x < 0$ داریم $f(x) = -x$:

$$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$$

نتیجه: تابع در یک نقطه مشتق‌پذیر است که مشتق چپ و راست در آن نقطه وجود داشته باشند و برابر باشند. اینجا $f'_+(0) = 0$ ولی $f'_-(0) = -1$ است؛ پس $f'(0)$ وجود ندارد و تابع در $A$ مشتق‌پذیر نیست.

از نظر شکل هم: مماس از سمت راست افقی است (شیب ۰) و از سمت چپ، خود خط $y = -x$ با شیب $-1$ است؛ نمودار در $A$ یک گوشهٔ تیز دارد.