سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

$$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 0 \Rightarrow x = 1 \ \ \text{یا} \ \ x = -3$$

نقطهٔ ماکزیمم نسبی $(-3, 17)$ و نقطهٔ مینیمم نسبی $(1, -15)$ است.

گام ۱: نقاط بحرانی. نقطهٔ بحرانی جایی است که مشتق صفر شود یا وجود نداشته باشد. مشتق این چندجمله‌ای همه‌جا وجود دارد، پس فقط ریشه‌های مشتق را پیدا می‌کنیم:

$$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x + 3)(x - 1)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -3 \ \ \text{یا} \ \ x = 1$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ درجهٔ دوم است و ضریب $x^2$ آن مثبت؛ پس بیرون دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی است (برای نمونه $f'(0) = -9 < 0$).

گام ۳: مقدار تابع در نقاط بحرانی.

$$f(-3) = -27 + 27 + 27 - 10 = 17$$ $$f(1) = 1 + 3 - 9 - 10 = -15$$

گام ۴: جدول تغییرات. هر جا $f'$ مثبت است تابع صعودی و هر جا منفی است نزولی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: در $x = -3$ علامت $f'$ از مثبت به منفی عوض می‌شود (تابع از صعودی به نزولی می‌رود)، پس $(-3, 17)$ نقطهٔ ماکزیمم نسبی است. در $x = 1$ علامت $f'$ از منفی به مثبت عوض می‌شود، پس $(1, -15)$ نقطهٔ مینیمم نسبی است.