سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

آزمایش دو مرحله دارد: اول انتخاب ظرف، بعد انتخاب مهره از همان ظرف. از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم.

گام ۱: پیشامدها. $A$ را پیشامد «مهرهٔ آبی» و $B_1$، $B_2$ و $B_3$ را پیشامد انتخاب ظرف اول، دوم و سوم می‌گیریم. ظرف‌ها یکسان‌اند و با چشم بسته انتخاب می‌شوند، پس:

$$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$$

گام ۲: احتمال آبی بودن در هر ظرف.

• ظرف اول: ۳ مهرهٔ آبی از ۸ مهره، پس $P(A \mid B_1) = \frac{3}{8}$.
• ظرف دوم: همهٔ ۴ مهره آبی است، پس $P(A \mid B_2) = 1$.
• ظرف سوم: هیچ مهرهٔ آبی ندارد، پس $P(A \mid B_3) = 0$.

گام ۳: احتمال کل.

$$P(A) = P(B_1)P(A \mid B_1) + P(B_2)P(A \mid B_2) + P(B_3)P(A \mid B_3)$$ $$P(A) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 0 = \frac{1}{8} + \frac{1}{3} = \frac{3}{24} + \frac{8}{24} = \frac{11}{24}$$