سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

$$f = xy \rightarrow f(x) = x(7 - x) = -x^2 + 7x \rightarrow f'(x) = -2x + 7 = 0$$ $$\rightarrow x = \frac{7}{2} , \qquad y = \frac{7}{2}$$

گام ۱: متغیرها. طول مستطیل را $x$ و عرض آن را $y$ (برحسب سانتی‌متر) می‌گیریم. محیط ۱۴ است:

$$2(x + y) = 14 \Rightarrow x + y = 7 \Rightarrow y = 7 - x$$

طول و عرض مثبت‌اند، پس $0 < x < 7$.

گام ۲: تابع مساحت. مساحت را فقط برحسب $x$ می‌نویسیم:

$$f(x) = xy = x(7 - x) = -x^2 + 7x$$

گام ۳: نقطهٔ بحرانی.

$$f'(x) = -2x + 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2}$$

برای $x < \frac{7}{2}$ مشتق مثبت است (مساحت زیاد می‌شود) و برای $x > \frac{7}{2}$ منفی است (مساحت کم می‌شود)؛ پس در $x = \frac{7}{2}$ مساحت بیشترین مقدار را دارد.

گام ۴: عرض.

$$y = 7 - \frac{7}{2} = \frac{7}{2} = x$$

پس در مستطیلِ با بیشترین مساحت، طول و عرض هر دو $\frac{7}{2}$ سانتی‌متر و برابرند؛ یعنی این مستطیل مربع است و مساحت آن $\frac{49}{4} = 12.25$ سانتی‌متر مربع است.